2024年度邵逸夫數學科學獎頒予彼得・薩納克 (Peter Sarnak)，以表彰他將數論、分析學、組合學、動力學、幾何學和譜理論結合起來，發展出薄群的算術理論和仿射篩法。彼得・薩納克是美國普林斯頓高等研究院數學戈帕・普拉薩德講座教授及美國普林斯頓大學數學尤金・希金斯講座教授。

如果一個自然數大於1，並且不是兩個較小的自然數的乘積，那麼它就被稱為素數 (又稱質數)。例如，2是素數，但4 = 2 × 2不是素數。歐幾里德定理 (約公元前300年) 斷言，除了0和1之外的任何自然數都可表示為素數的乘積，而且素數有無限多個。研究素數的分佈是數論中的核心課題。

自古希臘以來，尋找素數一直是數論的重要主題。數學家尋找一些多項式函數f(x)，使得對於無窮多個整數x，f(x) 的值均是素數。歐幾里德定理表明，f(x)=x 便是符合條件的函數之一。若將問題的範圍擴展，要求函數f(x) 的值是殆素數 (具有有限個素因子的自然數)，也就是說，對於無窮多個整數x而言，f(x) 的值是有限素數的乘積。例如，孿生素數猜想可以這樣表述：對於無窮多個整數x，函數f(x) = x(x+2) 的值可表達為兩個素數的乘積。中國數學家陳景潤於1973年利用布倫的組合篩法證明了該函數對於無窮多個整數x有最多3個的素因數。數學家們也可以通過要求將x限定在整數的稀疏子集中來限制所考慮的x集合。對於任何具有整數系數的多元多項式，都可以提出類似的問題。

薩納克率先開展在薄群軌道生成的稀疏子集中尋找多項式殆素數值的研究。薄群是算術群的一個子群，具有恰到好處的性質：它既不太大 (具有無窮指數)，也不太小 (與算術群具有相同的札里斯基閉包)。薄群在純數學和應用數學中非常自然地出現。例如，整數阿波羅尼奧斯圓填充的對稱群就是一個薄群。此外，還有大量的克萊因群，或是更為普遍的微分方程的單值群，它們都是薄群。

擴展圖是一種高度連接的稀疏圖，廣泛應用於計算機科學領域。 薩納克預見到一個薄群中的有限商群的擴展特性可用於產生殆素數，從而發展出仿射篩法。薩納克聯同布爾甘和甘布爾德從一些薄群中建構出擴展圖。這個構造依賴於薩納克和薛早期的基礎工作，其中他們展示了有限線性群的最小維數與擴展圖之間的關係。

薩納克聯同布爾甘和甘布爾德，對於在薄群軌道上的整數向量取得了一個精確計數和均勻分佈的結果，該結果指出，當將給定的多項式函數應用於這些向量時，它們就會取得殆素數值。

在一些自然假設下，薩納克與戈爾塞菲迪一起證明了一個整數多項式函數於薄群軌道的札里斯基稠密子集中會產生殆素數。

薩納克將組合和遍歷的理論方法引入到丟番圖方程 (又稱不定方程) 問題，產生了深遠的影響。他獨特而深邃的遠見開啟了廣泛的研究項目，將數論、組合學、分析學、動力學、幾何學和譜理論融為一體。

邵逸夫數學科學獎遴選委員會

2024年5月21日 香港