2024年度邵逸夫数学科学奖颁予彼得・萨纳克 (Peter Sarnak)，以表彰他将数论、分析学、组合学、动力学、几何学和谱理论结合起来，发展出薄群的算术理论和仿射筛法。彼得・萨纳克是美国普林斯顿高等研究院数学戈帕・普拉萨德讲座教授及美国普林斯顿大学数学尤金・希金斯讲座教授。

如果一个自然数大于1，并且不是两个较小的自然数的乘积，那么它就被称为素数 (又称质数)。例如，2是素数，但4 = 2 × 2不是素数。欧几里德定理 (约公元前300年) 断言，除了0和1之外的任何自然数都可表示为素数的乘积，而且素数有无限多个。研究素数的分佈是数论中的核心课题。

自古希腊以来，寻找素数一直是数论的重要主题。数学家寻找一些多项式函数f(x)，使得对于无穷多个整数x，f(x) 的值均是素数。欧几里德定理表明，f(x)=x 便是符合条件的函数之一。若将问题的范围扩展，要求函数f(x) 的值是殆素数 (具有有限个素因子的自然数)，也就是说，对于无穷多个整数x而言，f(x) 的值是有限素数的乘积。例如，孪生素数猜想可以这样表述：对于无穷多个整数x，函数f(x) = x(x+2) 的值可表达为两个素数的乘积。中国数学家陈景润于1973年利用布伦的组合筛法证明了该函数对于无穷多个整数x有最多3个的素因数。数学家们也可以通过要求将x限定在整数的稀疏子集中来限制所考虑的x集合。对于任何具有整数系数的多元多项式，都可以提出类似的问题。

萨纳克率先开展在薄群轨道生成的稀疏子集中寻找多项式殆素数值的研究。薄群是算术群的一个子群，具有恰到好处的性质：它既不太大 (具有无穷指数)，也不太小 (与算术群具有相同的札里斯基闭包)。薄群在纯数学和应用数学中非常自然地出现。例如，整数阿波罗尼奥斯圆填充的对称群就是一个薄群。此外，还有大量的克莱因群，或是更为普遍的微分方程的单值群，它们都是薄群。

扩展图是一种高度连接的稀疏图，广泛应用于计算器科学领域。 萨纳克预见到一个薄群中的有限商群的扩展特性可用于产生殆素数，从而发展出仿射筛法。萨纳克联同布尔甘和甘布尔德从一些薄群中建构出扩展图。这个构造依赖于萨纳克和薛早期的基础工作，其中他们展示了有限线性群的最小维数与扩展图之间的关係。

萨纳克联同布尔甘和甘布尔德，对于在薄群轨道上的整数向量取得了一个精确计数和均匀分佈的结果，该结果指出，当将给定的多项式函数应用于这些向量时，它们就会取得殆素数值。

在一些自然假设下，萨纳克与戈尔塞菲迪一起证明了一个整数多项式函数于薄群轨道的札里斯基稠密子集中会产生殆素数。

萨纳克将组合和遍歷的理论方法引入到丢番图方程 (又称不定方程) 问题，产生了深远的影响。他独特而深邃的远见开啟了广泛的研究项目，将数论、组合学、分析学、动力学、几何学和谱理论融为一体。

邵逸夫数学科学奖遴选委员会

2024年5月21日 香港