2021年度邵逸夫数学科学奖平均颁予尚–米歇尔・比斯姆 (Jean-Michel Bismut) 和杰夫・奇格 (Jeff Cheeger)，以表彰他们对 几何学的贡献。他们非凡的见解改变了现代几何，其影响歷久弥新。尚–米歇尔・比斯姆是法国巴黎第十一大学数学系荣誉教授。 杰夫・奇格是美国纽约大学科朗数学研究所数学教授。

几何学是最古老的数学分支之一，可追溯至古希腊及更远。古希腊人有一个为人熟识但长久没有解决的问题︰平行公设是否可以从欧几里得的其他公理中推断出来？平行公设就是说：二维面上有一线及不在线上的一点，若另有一线穿过这点，不会与第一条线会合。这个问题直到十九世纪才得以解答。高斯 (Gauss)、波利亚伊 (Bolyai) 和洛巴切夫斯基 (Lobachevsky) 已证明答案是否定的，他们表明在数学上自洽的不同几何形状中，其他公理成立但平行公设并不成立。而且，对于这些非欧几里得几何结构，绝非稀奇异端，而是现代数学的基础。

从这些概念出发，特别有赖黎曼 (Riemann) 的工作，流形的概念成为了几何学的中心。流形可以想像为在三维空间中曲面的高维推广 (儘管流形的“本质内在”描述，要比嵌入高维空间的观点更为优胜)。流形在数学和物理学上无处不在，关于流形的研究导致数理学科的重要发展，并产生许多令人着迷而尚未解决的问题。

这些发展之一就是意识到往往可以使用局域工具来计算流形的整体拓扑量。例如，着名的高斯—博内定理证明一个表面拥有多少个“洞” (例如，冬甩炸面圈有一个洞，某些8字形椒盐卷饼有两个等等)，可以利用曲率这个局域数量的表面积分计算出来。这个想法随后被广泛推广，其中一个亮点是1963年着名的阿蒂亚–辛格指数定理，该定理孕育出数学里指数理论整个新领域。

比斯姆在这个领域中成为核心角色。在他职业生涯的早期，他对概率论作出了深远贡献，因而对数学金融理论产生重大影响。后来，他将概率论的思想引入到指数理论当中，对所有主要定理重新验证，并将研究范围广泛扩大，这使他能够将指数理论与数学的其他部分联系起来，在看来遥远的数学甚至物理问题上得以应用，包括在常用于数论中来研究高维丢番图方程的阿拉克洛夫几何领域，比斯姆开发的工具已用于计算格罗莫夫–威滕不变量属类 1。近年来，他的工作改变我们对塞尔伯格迹公式的想法，该公式是表示论和现代数论的基本工具。他研究工作别具特色，巧妙运用指数理论，证明明确公式，以表达前人从未敢尝试计算的数量。

奇格在现代几何学的一个重要话题上作出了深远贡献，了解曲率条件对流形结构的影响。他在这方面的研究工作产生了重大影响—例如，佩雷尔曼 (Perelman) 在解决庞加莱猜想时就充分利用这一点。他创出了现在称为奇格常数，在组合数学和理论计算器科学领域上家喻户晓。这是将流形分割成两部分的超曲面的最小面积，奇格将此面积与该流形上拉普拉斯–贝尔特拉算子的第一个不平凡特征值联系起来。此结果应用于图表的离散版本，在研究随机采样的深奥算法和高维积分的发展及许多其他的应用发挥了作用。

比斯姆和奇格也曾合作，并将着名的 eta 不变式，从流形扩展到流形族，藉此沿着合併中的空间序列明确地计算出 eta 不变式的极限，这项工作广受好评。

在过去的几十年，比斯姆和奇格解决了长期未决的问题，硕果累收，至今不息，并引入新思维、创造新工具，大大地扩展现代几何学可及的范围，改变了这个学术领域。

邵逸夫数学科学奖遴选委员会

2021年6月1日   香港