2015年度邵逸夫数学科学奖颁予格尔德・法尔廷斯 (Gerd Faltings)及亨里克・伊万尼克(Henryk Iwaniec)，以表彰他们对数论基本工具的推行及发展，让他们及其他人能够解决存在已久的经典问题。格尔德・法尔廷斯是德国马克斯普朗克数学研究所所长。亨里克・伊万尼克是美国罗格斯大学数学系New Jersey讲座教授。

数论的研究对象是整数、素数以及与它们相关的多项方程式。其核心问题通常易於陈述，但非常难以解答。成功解答的例子亦有赖很多不同数学领域的工具。这种情况并非巧合，因为其中一些数学领域正是为了要解决经典数论问题而开发的。格尔德・法尔廷斯及亨里克・伊万尼克在代数、分析学、代数及算术几何学、自守式及ζ 函数理论等领域中发展了很多最具效力的现代数学工具。他们及其他人利用这些工具，解答了许多存在已久的经典问题。

格尔德・法尔廷斯

任何以有理数为系数的单变量n次多项式，它的方程总有n个复数解，并有一个对称群，也就是伽罗瓦群，用以描述这些复数解怎样彼此联系。

然而，任何以有理数为系数的双变量多项式方程，则有无限个复数解，这些解组成代数曲线。在大多数情况下(即是当曲线亏格是2或以上)，只有有限个解是一对对的有理数。这个现像就是著名的莫德尔猜想，它挑战了人类智慧60年，直至法尔廷斯给出论证才得到解答。这出乎意料的证明为Arakelov几何及算术几何学提供了基础性的新工具，同时亦证明了另一基本的有限性定理 — 关於多变量多项式的沙法列维奇及泰特猜想。此后，法尔廷斯从数学家Vojta的方法出发并更新，证明了一个关於阿贝尔簇方程系有理解的高维有限性定理(Lang猜想)，影响深远。为了利用几何学探讨多项式的有理解，便需要运用复数几何学的算术版本中的各工具，其一就是霍奇理论。法尔廷斯对p进数霍奇理论的基础贡献，以及由他引进既新颖又充分有力的技巧，关联著伽罗瓦群(源於单变数或多变数多项式)与自守形式(周期函数理论的大规模推广)的现代理论，在这个领域的新发展中占核心地位。数学家Peter Scholze近期关於伽罗瓦表述的显著成果，便是发挥这些技术的力量的好例子。

亨里克・伊万尼克

伊万尼克的工作重点在丢番图问题的分析层面，目的通常在於证明方程式确实有整数或素数解，最好可以估计在每一个上限以内有多少解。

寻找素数的众多方法中，一个古老技巧就是筛法理论，这方法始於埃拉托色尼排列素数的方法。伊万尼克在筛法理论中的基础工作和突破、以及理论的应用，在活跃的丢番图分析这数学范筹中，占了重要地位。他与John Friedlander证明了有无限多个素数可以表达为X²+Y⁴，这个有关素数的结果非常引人注目；而为了证明这个结果，引入了一些技巧，为众多往后研究提供了基础。每个自守形式都有个对应的L函数，是黎曼ζ函数论的推广理论，这学说在研习素数及丢番图方程占有重要地位。伊万尼克创造了很多强有力的技巧，用来研究自守形式的L函数，为当今数学广泛使用。尤其是他估计了半整权模形式的傅里叶系数，以及估计L函数在其临界线上数值的技巧(后者与William Duke及John Friedlander共同研究)，解决了一系列长期困扰学界的数论难题，包括Hilbert所提出的其中一项命题，就是整数的二次式(在有三个或更多变量时)总是可解的，除非它有明显不可解的原因。

在一系列概念及新技术同样出色的论文中，伊万尼克和不同作者 (Étienne Fouvry及后来的Enrico Bombieri和John Friedlander)确立了好些结果，都是关於素数在算术数列中的分布问题，这问题的难度超越了著名的黎曼假设。这连串成就打开了一扇门，通往一些具潜力的极显著应用。例如数学家张益唐最近备受表扬的一项成就，对有限间距的素数分布取得进展，这个研究在很大程度上有赖於伊万尼克等人的结果。以上有关伊万尼克的研究及他许多技术上的辉煌作品，在现今解析数论占有核心地位。

邵逸夫数学科学奖遴选委员会

2015年6月1日  香港