2015年度邵逸夫数学科学奖颁予格尔德•法尔廷斯 (Gerd Faltings) 亨里克•伊万尼克(Henryk Iwaniec),以表彰他们对数论基本工具的推行及发展,让他们及其他人能够解决存在已久的经典问题。 格尔德• 法尔廷斯是德国马克斯普朗克数学研究所所长。 亨里克•伊万尼克是美国罗格斯大学数学系New Jersey讲座教授。

数论的研究对象是整数、素数以及与它们相关的多项方程式。其核心问题通常易于陈述, 但非常难以解答。成功解答的例子亦有赖很多不同数学领域的工具。这种情况并非巧合,因为其中一些数学领域正是为了要解决经典数论问题而开发的。 格尔德•法尔廷斯亨里克•伊万尼克在代数、分析学、代数及算术几何学、自守式及ζ函数理论等领域中发展了很多最具效力的现代数学工具。他们及其他人利用这些工具,解答了许多存在已久的经典问题。

格尔德•法尔廷斯

任何以有理数为系数的单变量n次多项式,它的方程总有n个复数解,并有一个对称群,也就是伽罗瓦群,用以描述这些复数解怎样彼此联系。

然而,任何以有理数为系数的双变量多项式方程,则有无限个复数解,这些解组成代数曲线。在大多数情况下(即是当曲线亏格是2或以上),只有有限个解是一对对的有理数。这个现像就是着名的莫德尔猜想,它挑战了人类智慧60年,直至 法尔廷斯给出论证才得到解答。这出乎意料的证明为Arakelov几何及算术几何学提供了基础性的新工具,同时亦证明了另一基本的有限性定理— 关于多变量多项式的沙法列维奇及泰特猜想。此后,法尔廷斯从数学家Vojta的方法出发并更新,证明了一个关于阿贝尔簇方程系有理解的高维有限性定理(Lang猜想),影响深远。为了利用几何学探讨多项式的有理解,便需要运用复数几何学的算术版本中的各工具,其一就是霍奇理论。 法尔廷斯p进数霍奇理论的基础贡献,以及由他引进既新颖又充分有力的技巧,关联着伽罗瓦群(源于单变数或多变数多项式)与自守形式(周期函数理论的大规模推广)的现代理论,在这个领域的新发展中占核心地位。数学家Peter Scholze近期关于伽罗瓦表述的显着成果,便是发挥这些技术的力量的好例子。

亨里克•伊万尼克

伊万尼克的工作重点在丢番图问题的分析层面,目的通常在于证明方程式确实有整数或素数解,最好可以估计在每一个上限以内有多少解。

寻找素数的众多方法中,一个古老技巧就是筛法理论,这方法始于埃拉托色尼排列素数的方法。 伊万尼克在筛法理论中的基础工作和突破、以及理论的应用,在活跃的丢番图分析这数学范筹中,占了重要地位。他与John Friedlander证明了有无限多个素数可以表达为X2+Y4,这个有关素数的结果非常引人注目;而为了证明这个结果,引入了一些技巧,为众多往后研究提供了基础。每个自守形式都有个对应的L函数,是黎曼ζ函数论的推广理论,这学说在研习素数及丢番图方程占有重要地位。 伊万尼克创造了很多强有力的技巧,用来研究自守形式的L函数,为当今数学广泛使用。尤其是他估计了半整权模形式的傅里叶系数,以及估计L函数在其临界线上数值的技巧(后者与William Duke及John Friedlander共同研究),解决了一系列长期困扰学界的数论难题,包括Hilbert所提出的其中一项命题,就是整数的二次式(在有三个或更多变量时)总是可解的,除非它有明显不可解的原因。

在一系列概念及新技术同样出色的论文中,伊万尼克和不同作者(Étienne Fouvry及后来的Enrico Bombieri和John Friedlander)确立了好些结果,都是关于素数在算术数列中的分布问题,这问题的难度超越了着名的黎曼假设。这连串成 就打开了一扇门,通往一些具潜力的极显着应用。例如数学家张益唐最近备受表扬的一项成就,对有限间距的素数分布取得进展,这个研究在很大程度上有赖于伊万尼克等人的结果​​。以上有关伊万尼克的研究及他许多技术上的辉煌作品,在现今解析数论占有核心地位。



邵逸夫数学科学奖遴选委员会
(译自英文原稿)


2015年6月1日  香港