数学分析论述极限过程,例如圆圈可以用内接正多边形近似,随边数增加而任意逼近(阿基米德使用的方法),又或动力学中瞬时速度的概念等,牛顿和莱布尼茨的微积分便提供了一个数学分析工具,成功地应用于行星轨道,航空飞行和海啸波浪等问题上。

为这些极限过程确证的多是各种组合数学的不等式。如要精确地立出和证明这些不等式,需要高度的洞察力和心智创造力。分析学的工具和语言是众多数学领域的基础,从概率论、统计物理以至偏微分方程、动力系统、组合数学和数论。

辛康‧布尔甘(Jean Bourgain)是当代最卓越的分析学家之一。在以上提到的每个领域他都解决了佔中心地位的和长期存在的难题。他为此引入的许多基本技术已成为这些领域的标准工具。他的工作和思想已极大地促使不同的领域相互吸取精华,开花结果。

一个典型例子是关于他的“和积现象”的工作。这一基本组合性现象定量阐明了加法和乘法这两种基本运算的关系。他用和积理论成功地解决了一系列难题,包括对称的分佈和计数、组合学、数论和代数方程解等。

更让人惊奇的是,布尔甘所採用的技术与精微几何的Kakeya问题,有密切的关连。在Kakeya问题中,是以非常大的数N让一辆小车(理想化为一个小线段)进行 N–点转向,使小车在任意小的区域里倒向。

在数学和许多其他科学领域,随机数起着关键作用。但是实际上很难制造一个随机数。抛掷硬币并不是办法,何况硬币的重心可能有偏倚。布尔甘应用他的技术提供了精确的随机性结构,此技术已在理论计算机科学中获得了重要应用。


邵逸夫数学科学奖遴选委员会
(译自英文原稿)


2010年9月28日 香港