2018邵逸夫数学科学奖颁予路易 • 卡法雷 (Luis A Caffarelli),以表彰他在偏微分方程上的突破性工作,包括创立一套正则理论,适用于如蒙日−安培方程等非线性方程,及如障碍问题等的自由边界问题,这些工作影响了该领域整个世代的研究。路易 • 卡法雷是美国得克萨斯大学奥斯汀分校数学教授。

偏微分方程对于大部分数学、物理以至所有科学的很多领域都非常重要。它们用于模拟热流、流体运动、电磁波、量子力学、肥皂泡形状,以及无数其他物理现象。

只有一些非常简单的方程是可以明确地解答 — 亦即是能够以明确的方式把它们的解严格表示出来 — 但这些情况是非常例外,不是常规的。人们只能退而求其次,试图证明答案是存在的,并尝试刻划答案的一些特性。

一个非常重要的例子就是纳维−斯托克斯方程,它描述黏稠流体的运动。在给予适当的初始条件下,我们不知道是否必定有永远保持良好表现的解,抑或奇点必然出现。以图像化方式来解说,如果搅动一桶水,那么一星期后会否有爆破的危险?大概不会,但没有人知道如何证明这一点,这是数学界未能解决的重要问题之一。

虽然不知道如何解决纳维−斯托克斯方程,但可以找到所谓的「弱解」,它们是满足方程式的抽像体,但在某程度上不是我们真正想要的解。如果可以证明这些解是「正则」的,那么纳维−斯托克斯问题就可以解决。卡法雷、科恩和尼伦伯格所获得的着名结果迄今最接近这个目标:它表明除了一个奇点集合之外,弱解是存在的,是正则的,而且这个奇点集合在精确的数学意义上必须非常小。

卡法雷在另一个领域建立出一个全新而又非常有影响力的理论,就是障碍问题。人们想知道一片具有特定边界的弹性膜放在某些障碍物上所取的形状。这形状必然将能量减到最低,但重要的问题是这类解的良好或「正则」程度。就像在偏微分方程中所有重要问题一样,这个障碍问题在很多情况下都会出现,包括在多孔介质中的流体过滤和金融数学。

一般来讲,因为不会常有解决偏微分方程的显式公式,所以对其特性的分析非常困难,并取决于极其精密的估计。卡法雷是这方面的高手,经常提出一些令人觉得不可思议的论证方法。他继续在这方面的最前线工作,他自己的工作和他的博士生的研究工作都对该领域产生着极大的影响。他指导的博士生中有些已经成为非常杰出的数学家。某种程度上,能够开创一个重要领域的数学家已经不多,但他却连二接三开辟新的研究领域,这些领域活力十足,历久常新。


邵逸夫数学科学奖遴选委员会
(译自英文原稿)


2018年5月14日  香港