2015年度邵逸夫數學科學獎頒予格爾德•法爾廷斯 (Gerd Faltings)亨里克伊萬尼克(Henryk Iwaniec),以表彰他們對數論基本工具的推行及發展,讓他們及其他人能夠解決存在已久的經典問題。格爾德•法爾廷斯是德國馬克斯普朗克數學研究所所長。亨里克•伊萬尼克是美國羅格斯大學數學系New Jersey講座教授。

數論的研究對象是整數、素數以及與它們相關的多項方程式。其核心問題通常易於陳述,但非常難以解答。成功解答的例子亦有賴很多不同數學領域的工具。這種情況並非巧合,因為其中一些數學領域正是為了要解決經典數論問題而開發的。格爾德•法爾廷斯亨里克•伊萬尼克在代數、分析學、代數及算術幾何學、自守式及ζ 函数理論等領域中發展了很多最具效力的現代數學工具。他們及其他人利用這些工具,解答了許多存在已久的經典問題。

格爾德•法爾廷斯

任何以有理數為系數的單變量n次多項式,它的方程總有n個複數解,並有一個對稱群,也就是伽羅瓦群,用以描述這些複數解怎樣彼此聯繫。

然而,任何以有理數為系數的雙變量多項式方程,則有無限個複數解,這些解組成代數曲線。在大多數情況下(即是當曲線虧格是2或以上),只有有限個解是一對對的有理數。這個現像就是著名的莫德爾猜想,它挑戰了人類智慧60年,直至法爾廷斯給出論證才得到解答。這出乎意料的證明為Arakelov幾何及算術幾何學提供了基礎性的新工具,同時亦證明了另一基本的有限性定理 — 關於多變量多項式的沙法列維奇及泰特猜想。此後,法爾廷斯從數學家Vojta的方法出發並更新,證明了一個關於阿貝爾簇方程系有理解的高維有限性定理(Lang猜想),影響深遠。為了利用幾何學探討多項式的有理解,便需要運用複數幾何學的算術版本中的各工具,其一就是霍奇理論。法爾廷斯p進數霍奇理論的基礎貢獻,以及由他引進既新穎又充分有力的技巧,關聯著伽羅瓦群(源於單變數或多變數多項式)與自守形式(周期函數理論的大規模推廣)的現代理論,在這個領域的新發展中佔核心地位。數學家Peter Scholze近期關於伽羅瓦表述的顯著成果,便是發揮這些技術的力量的好例子。

亨里克•伊萬尼克

伊萬尼克的工作重點在丟番圖問題的分析層面,目的通常在於證明方程式確實有整數或素數解,最好可以估計在每一個上限以內有多少解。

尋找素數的眾多方法中,一個古老技巧就是篩法理論,這方法始於埃拉托色尼排列素數的方法。伊萬尼克在篩法理論中的基礎工作和突破、以及理論的應用,在活躍的丟番圖分析這數學範籌中,佔了重要地位。他與John Friedlander證明了有無限多個素數可以表達為X2+Y4,這個有關素數的結果非常引人注目;而為了證明這個結果,引入了一些技巧,為眾多往後研究提供了基礎。每個自守形式都有個對應的L函數,是黎曼ζ函數論的推廣理論,這學說在研習素數及丟番圖方程佔有重要地位。伊萬尼克創造了很多强有力的技巧,用來研究自守形式的L函數,為當今數學廣泛使用。尤其是他估計了半整權模形式的傅里葉系數,以及估計L函數在其臨界線上數值的技巧(後者與William Duke及John Friedlander共同研究),解決了一系列長期困擾學界的數論難題,包括Hilbert所提出的其中一項命題,就是整數的二次式(在有三個或更多變量時)總是可解的,除非它有明顯不可解的原因。

在一系列概念及新技術同樣出色的論文中,伊萬尼克和不同作者 (Étienne Fouvry及後來的Enrico Bombieri和John Friedlander)確立了好些結果,都是關於素數在算術數列中的分佈問題,這問題的難度超越了著名的黎曼假設。這連串成就打開了一扇門,通往一些具潛力的極顯著應用。例如數學家張益唐最近備受表揚的一項成就,對有限間距的素數分佈取得進展,這個研究在很大程度上有賴於伊萬尼克等人的結果。以上有關伊萬尼克的研究及他許多技術上的輝煌作品,在現今解析數論佔有核心地位。



邵逸夫數學科學獎遴選委員會
(譯自英文原稿)


2015年6月1日  香港