數學分析論述極限過程,例如圓圈可以用內接正多邊形近似,隨邊數增加而任意逼近(阿基米德使用的方法),又或動力學中瞬時速度的概念等,牛頓和萊布尼茨的微積分便提供了一個數學分析工具,成功地應用於行星軌道,航空飛行和海嘯波浪等問題上。

為這些極限過程確證的多是各種組合數學的不等式。如要精確地立出和證明這些不等式,需要高度的洞察力和心智創造力。分析學的工具和語言是眾多數學領域的基礎,從概率論、統計物理以至偏微分方程、動力系統、組合數學和數論。

辛康‧布爾甘 (Jean Bourgain) 是當代最卓越的分析學家之一。在以上提到的每個領域他都解決了佔中心地位的和長期存在的難題。他為此引入的許多基本技術已成為這些領域的標準工具。他的工作和思想已極大地促使不同的領域相互吸取精華,開花結果。

一個典型例子是關於他的“和積現象”的工作。這一基本組合性現象定量闡明了加法和乘法這兩種基本運算的關係。他用和積理論成功地解決了一系列難題,包括對稱的分佈和計數、組合學、數論和代數方程解等。

更讓人驚奇的是,布爾甘所採用的技術與精微幾何的 Kakeya 問題,有密切的關連。在 Kakeya 問題中,是以非常大的數 N 讓一輛小車(理想化為一個小線段)進行 N – 點轉向,使小車在任意小的區域裡倒向。

在數學和許多其他科學領域,隨機數起著關鍵作用。但是實際上很難製造一個隨機數。抛擲硬幣並不是辦法,何況硬幣的重心可能有偏倚。布爾甘應用他的技術提供了精確的隨機性結構,此技術已在理論計算機科學中獲得了重要應用。
 

邵逸夫數學科學獎遴選委員會
(譯自英文原稿)


2010年5月27日  香港