2019邵逸夫數學科學獎頒予米歇爾 • 塔拉格蘭 (Michel Talagrand),以表彰他研究集中不等式、隨機過程的上確界 和自旋玻璃的嚴謹結果。米歇爾 • 塔拉格蘭是前法國國家科學研究中心高級研究員。

米歇爾 • 塔拉格蘭對概率和高維幾何作出了深遠的貢獻,其中至少有三項工作可以被形容為革命性的研究。

塔拉格蘭第一個重要研究是隨機過程的上確界 (即最小上界,或粗略而言,即最大值)。隨機過程是互相影響的隨機變量的集合。當給予一個這樣的巨大集合時,取得有關其最大值如何分佈是非常重要的課題。從研究高斯過程開始 (每個隨機變量都有高斯分佈,呈現出著名的「鐘形曲線」,並可以某種形式顯示出相關性),以至更普遍的例子,塔拉格蘭研發了一些工具,例如佔優測度或通用接鏈,為這些最大值的行為提供強大而非常有用的範圍。

第二項貢獻是關於集中度量的現象。大致而言,許多函數依賴大量相當獨立的隨機變量,這些函數是極有可能接近其平均值。例如,若擲幣一千次,那麼,出現頭像的次數為450至550之間,概率大約是99.7%,而大於600的概率只有約是二億分之一。在這種情況,我們說出現頭像的次數是集中的。這種現象通常會聯想到數學家維塔利 • 米爾曼(Vitali Milman)的名字,是非常普遍和廣泛地應用在凸體幾何學,圖論和理論計算機科學等多個領域。塔拉格蘭的其中一項重大成就是詳細研究這種現象,並大大提高我們對它的了解。特別是他使用了全新技術,證明著名的不等式,從而取得新穎的集中結果廣泛用於許多不同重要的環境中。

他的第三項引人注目的成果,是關於自旋玻璃。自旋玻璃是一種數學模型,描述極度無序系統的物理現象。與許多統計物理學中的模型不同,自旋玻璃具有雙層隨機性。首先,不同的隨機變量(即自旋玻璃語言中的自旋) 具相互作用,而相互作用量的數值是隨機選擇的,因而產生一個非常複雜的能量圖景。而在此能量圖景之上,隨機變量本身又是隨機抽樣的。

一大族隨機變量隨機互相影響,人們都希望能夠了解這類系統和描述其典型特徵。自旋玻璃容易定義,但難以分析。理論物理學家喬治 • 帕里西 (Giorgio Parisi) 提出了關於自旋玻璃自由能的公式,自由能是一個重要的數量,包含著這種隨機能量圖景的信息。然而,將統計物理學家的預言轉化為數學上嚴謹的論證往往是非常困難,論證的要求為數學研究提供了豐富的課題。儘管弗朗切斯科 • 格拉 (Francesco Guerra) 憑著非凡的見解取得可觀的進展,但在這種情況下找到一個完整而嚴謹的證明似是奢望,但最終塔拉格蘭成功做到,因而對非常重要的物理學理論第一次奠下完整的數學基礎。

塔拉格蘭的學術生涯裡,有一個顯著特徵令他比其他數學家突出,就是當他解決了問題後,他不會將問題放在一旁,然後專注其他課題。相反,他會繼續思考原來的命題,改善他的理解力並重新思考自己的論點,直到他找出一個可以更容易被其他數學家所接受及應用的完善理論。關於剛剛提到的三個研究主題,他撰寫了篇幅浩瀚而具影響力的教科書,對推廣他的理論發揮了非常重要的作用,而這些想法現已成為很多數學家工作的重要部分。塔拉格蘭是真正的獨一無二,常常獨自工作,取得非凡和非常意想不到的成果,改變了數學的景觀。


邵逸夫數學科學獎遴選委員會
(譯自英文原稿)


2019年5月23日   香港  (修正版)