2018邵逸夫數學科學獎頒予路易 • 卡法雷 (Luis A Caffarelli),以表彰他在偏微分方程上的突破性工作,包括創立一套正則理論,適用於如蒙日−安培方程等非線性方程,及如障礙問題等的自由邊界問題,這些工作影響了該領域整個世代的研究。路易 • 卡法雷是美國德克薩斯大學奧斯汀分校數學教授。

偏微分方程對於大部分數學、物理以至所有科學的很多領域都非常重要。它們用於模擬熱流、流體運動、電磁波、量子力學、肥皂泡形狀,以及無數其他物理現象。

只有一些非常簡單的方程是可以明確地解答 — 亦即是能夠以明確的方式把它們的解嚴格表示出來 — 但這些情況是非常例外,不是常規的。人們只能退而求其次,試圖證明答案是存在的,並嘗試刻劃答案的一些特性。

一個非常重要的例子就是納維−斯托克斯方程,它描述黏稠流體的運動。在給予適當的初始條件下,我們不知道是否必定有永遠保持良好表現的解,抑或奇點必然出現。以圖像化方式來解說,如果攪動一桶水,那麼一星期後會否有爆破的危險?大概不會,但沒有人知道如何證明這一點,這是數學界未能解決的重要問題之一。

雖然不知道如何解決納維−斯托克斯方程,但可以找到所謂的「弱解」,它們是滿足方程式的抽像體,但在某程度上不是我們真正想要的解。如果可以證明這些解是「正則」的,那麼納維−斯托克斯問題就可以解決。卡法雷、科恩和尼倫伯格所獲得的著名結果迄今最接近這個目標:它表明除了一個奇點集合之外,弱解是存在的,是正則的,而且這個奇點集合在精確的數學意義上必須非常小。

卡法雷在另一個領域建立出一個全新而又非常有影響力的理論,就是障礙問題。人們想知道一片具有特定邊界的彈性膜放在某些障礙物上所取的形狀。這形狀必然將能量減到最低,但重要的問題是這類解的良好或「正則」程度。就像在偏微分方程中所有重要問題一樣,這個障礙問題在很多情況下都會出現,包括在多孔介質中的流體過濾和金融數學。

一般來講,因為不會常有解決偏微分方程的顯式公式,所以對其特性的分析非常困難,並取決於極其精密的估計。卡法雷是這方面的高手,經常提出一些令人覺得不可思議的論證方法。他繼續在這方面的最前線工作,他自己的工作和他的博士生的研究工作都對該領域產生着極大的影響。他指導的博士生中有些已經成為非常傑出的數學家。某種程度上,能夠開創一個重要領域的數學家已經不多,但他卻連二接三開闢新的研究領域,這些領域活力十足,歷久常新。


邵逸夫數學科學獎遴選委員會
(譯自英文原稿)


2018年5月14日  香港